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Ein Beispiel zum Aufwärmen gefällig?

 

In einem Bottich schwimmt eine Holzplatte, auf der sich ein Stein befindet.

 

 

Dadurch stellt sich eine bestimmte Wasserhöhe H ein.

Frage:

Wenn jemand diesen Stein von der Holzplatte wegnimmt und daneben ins Wasser legt (ohne zu spritzen !), wie verändert sich dadurch der Wasserstand?

Für  Tüftler:

Damit das Ganze auch berechnet werden kann, treffen wir folgende Annahmen:

  • statt des Bottichs gäbe es ein quaderförmiges Gefäß mit einer Wasser-Grundfläche von 1 m2,
  • statt mit dem Stein wird die Holzplatte mit einem Metallwürfel belastet, der eine Kantenlänge von 100 mm hat,
  • statt Wasser wird eine Flüssigkeit verwendet, die zehn Mal leichter als das Metall des Metallwürfels sei,
  • wodurch sich eine Anfangsflüssigkeitshöhe von 250 mm ergäbe.

 

Berechne, wie groß die Flüssigkeitshöhe H1 ist, nachdem der Metallwürfel in der Flüssigkeit versenkt worden ist !

Lösung:
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Kürzere Lösung:

Der Metallwürfel im Wasser verdrängt das Volumen d3. Da der Metallwürfel die 10-fache Dichte der Flüssigkeit hat wirkt sich das so aus, als ob das Wasservolumen um das Neunfache des Würfelvolumens verkleinert würde. (Da die Holzplatte schwimmt wirken sich ihre jeweiligen Eintauchtiefen nicht aus bzw. heben sich diese Volumina weg).
Damit folgt die soeben entwickelte Gleichung für H1  und selbstverständlich auch das gleiche Ergebnis.


„Langatmige“ Lösung:

FESTLEGUNGEN:
Abmaße der Holzplatte  =  a . b . c
Eintauchtiefe im belasteten Zustand:    h
Eintauchtiefe im unbelasteten Zustand:    x
Metallwürfelkante = d
Metalldichte =  ρM        Holzdichte   =  ρH     Flüssigkeitsdichte  =  ρF
Flüssigkeitsgrundfläche = A
ursprüngliche Flüssigkeitshöhe = H
neue Flüssigkeitshöhe  = H1 

Da „Schwimmen“ die Gleichheit von einwirkender/n Gewichtskraft/kräfte und Auftriebskraft bedeutet, existiert ein Fall „belastet“ und ein Fall „unbelastet“.

„belastet“
GWürfel + GHolzplatte = FAuftrieb
ρM·d3·g + a·b·c·ρH·g = a·b·h·ρF·g            (I)

„unbelastet“
a·b·c·ρH·g = a·b·x·ρF·g                           (II)

Das Flüssigkeitsvolumen vorher ist gleich groß wie das Flüssigkeitsvolumen nachher. Daher gilt:
A·H - a·b·h = A·H1 - a·b·x - d3                  (III)

Aus (I) lässt sich „a·b·h“  ausrechnen und in (III) einsetzen.
Aus (II) lässt sich „x“ ausrechnen und in (III) einsetzen.

Damit folgt:
A·H·ρF - ρM·d3 - a·b·c·ρH = A·H1·ρF - a·b·c·ρH - ρF·d3
weil ρM = 10·ρF ergibt sich:
A·H·ρF - 10·ρF·d3 = A·H1·ρF - ρF·d3
bzw.

H1 = (A·HF - 9·d3)/A

Mit Zahlenwerten belegt ergibt sich: 

H1  =  241 mm{/accesstext}

 

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